Γράφει ο Παναγιώτης Σταυρινού, Μαθηματικός
Το πρόβλημα της χρυσής τομής συνίσταται στην εξεύρεση τρόπου διαίρεσης ενός ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο. Απλούστερα, αν έχω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, ζητώ να προσδιορίσω τη θέση ενός σημείου Γ πάνω στο ΑΒ ώστε να ισχύει η αναλογία ΑΒ:ΑΓ = ΑΓ:ΓΒ. Το πρόβλημα το έθεσε πρώτος ο Ευκλείδης στο βιβλίο του «Στοιχεία». Έκτοτε η αναλογία αυτή απασχόλησε και απασχολεί ακόμα και σήμερα την ανθρώπινη σκέψη. Η αναλογία αυτή ονομάστηκε και θεϊκή αναλογία. Στο πρόβλημα της χρυσής τομής κρύβεται ο μυστηριώδης αριθμός φ = 1,618033988749895…, τον οποίο συναντούμε παντού μέσα στη φύση, από το ανθρώπινο DNA μέχρι τους σπειροειδείς γαλαξίες. Ας δούμε κάπως πιο αναλυτικά το θέμα. Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που έχει μήκος 1 (μια μονάδα μήκους). Αποδεικνύεται ότι το ζητούμενο σημείο Γ (σύμφωνα με τα προηγούμενα) έχει τέτοια θέση πάνω στο ΑΒ ώστε ο λόγος ΑΒ:ΑΓ ισούται με τον αριθμό φ, ο οποίος στην περίπτωση αυτή είναι η θετική πραγματική ρίζα της εξίσωσης χ2+χ-1 = 0. Η χρυσή τομή θεωρείται σαν βασικό δόγμα ωραιότητας και όπως αναφέρθηκε πιο πάνω, ( θα το δούμε και στη συνέχεια), παρουσιάζεται παντού μέσα στο σύμπαν. Φαίνεται ότι ο Φειδίας γνώριζε τον αριθμό φ, γιατί συναντούμε τη χρυσή τομή στον Παρθενώνα. Ο αριθμός αυτός ήταν γνωστός και στους αρχαίους Αιγυπτίους αρχιτέκτονες γιατί είναι εμφανής η παρουσία του στις πυραμίδες. Οι ζωγράφοι και γλύπτες της αναγέννησης χρησιμοποίησαν εκτενώς τη χρυσή τομή στα έργα τους. O Leonardo Da Vinci πχ στο έργο του «Ο Μυστικός Δείπνος», κάνει ευρεία χρήση της χρυσής τομής. Στο ναό της Παναγίας των Παρισίων γίνεται επίσης χρήση της αναλογίας αυτής. Ο Κέπλερ αναφερόμενος στη χρυσή τομή λέει τα εξής: « Η γεωμετρία έχει δύο μεγάλους θησαυρούς. Ο ένας είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα και ο άλλος είναι η διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο. Ο πρώτος μπορεί να συγκριθεί με ένα κομμάτι χρυσάφι. Ο δεύτερος με ένα πολύτιμο πετράδι». Ο αριθμός φ =1,618… μας ανοίγει διάπλατα τις πόρτες για να μπούμε στο ναό του μυστηρίου και να κατανοήσουμε διάφορα μυστικά της ζωής και της συμπεριφοράς του σύμπαντος. Θα έλεγα ότι ο Κύριος θέλησε να αφήσει στον αριθμό αυτό τα ίχνη της δημιουργικής Του δράσης. Ο αριθμός φ είναι η «υπογραφή» του Θεού πάνω σε κάθε δημιούργημά Του. Ας δούμε πρώτα τη σχέση του αριθμού φ με τους αριθμούς Fibonacci. Ο Leonardo Fibonacci, μελετώντας τις πυραμίδες της Αιγύπτου τον 12ον αιώνα, ανακάλυψε μια σειρά θετικών ακεραίων αριθμών που παράγεται ως εξής: Ξεκινώντας από το 0 και 1 κάθε νέος αριθμός της σειράς παράγεται από το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων. Έτσι έχουμε τη σειρά 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …. Το περίεργο είναι ότι το πηλίκο ενός όρου της σειράς δια του προηγούμενου, τείνει προς τον αριθμό φ = 1,618…πχ 5:3 = 1,666…ή 55:34 = 1,617647 κλπ. Γενικά αν fν είναι ο νιοστός όρος της ακολουθίας Fibonacci, τότε το όριο του fν : fν-1 τείνει στον αριθμό φ = 1,618…., όταν το ν τείνει στο άπειρο. Μεταξύ των όρων της ακολουθίας Fibonacci και του φ υπάρχει η σχέση fν = φν : 5 0,5 Για παράδειγμα ο εικοστός όρος στην ακολουθία Fibonacci είναι (1,6180339)20 : 5 1/2 =6762. Έτσι λοιπόν ο αριθμός φ κρύβεται μέσα στους αριθμούς Fibonacci, οι οποίοι με τη σειρά τους παρατηρούνται στη φύση και σε διάφορα φυσικά φαινόμενα. Ορισμένα αποδημητικά πουλιά πχ πετούν σε σχηματισμό 1, 2, 3, 5, …που είναι σειρά Fibonacci. Στα 2 μας χέρια, τα 8 από τα δάκτυλά μας χωρίζονται σε 3 μέρη το καθένα. Όλοι είναι αριθμοί Fibonacci. Στα κουνουπίδια ή στους κώνους των κωνοφόρων δένδρων ο αριθμός των δεξιόστροφων και αριστερόστροφων ελίκων είναι αριθμός Fibonacci. Πολλά φυτά έχουν άνθη των οποίων τα πέταλα είναι ή πλησιάζουν αριθμούς Fibonacci. (πχ μερικά είδη από μαργαρίτες, κρίνα, τριαντάφυλλα, κ.α). Επίσης μερικά φυτά αναπτύσσουν κλάδους σε κάθε ψηλότερο επίπεδο κατά τη σειρά 2, 3, 5, 8, …που είναι αριθμοί Fibonacci. Η διατομή μιας μπανάνας αποκαλύπτει 3 ακτίνες πάνω στον κυκλικό της δίσκο, ενώ σε είδη μήλων ο διαχωρισμός τους σε δύο ημισφαίρια εμφανίζει 5 ακτινωτές ραβδώσεις (αριθμοί Fibonacci). Παρόμοιες ή σχετικές παρατηρήσεις μπορείτε να κάνετε σε διάφορα είδη λαχανικών και φρούτων. Στο μόριο του ανθρώπινου DNA υπάρχει η χρυσή τομή. Έχει μήκος 34 angstroms και πλάτος 21 angstroms σε κάθε πλήρη κύκλο της διπλής σπείρας των ελίκων του. Οι αριθμοί 34 και 21 είναι αριθμοί Fibonacci και ο λόγος 34: 21 = 1,619 πλησιάζει πολύ καλά τον φ. Σε κάθε δάκτυλο του χεριού μας παρατηρούμε ότι η πρώτη άρθρωση είναι η χρυσή τομή του μήκους από το άκρο του δακτύλου μέχρι τη δεύτερη άρθρωση ενώ η δεύτερη άρθρωση είναι η χρυσή τομή του μήκους από τη πρώτη μέχρι την τρίτη άρθρωση. Η άρθρωση στον καρπό είναι η χρυσή τομή του μήκους από την άκρη των δακτύλων μέχρι τον αγκώνα. Ο ομφαλός είναι η χρυσή τομή του ύψους ενός κανονικού ανθρώπου. Οι αγκώνες είναι η χρυσή τομή του ύψους από την άκρη των δακτύλων των χεριών μέχρι το επίπεδο που εφάπτεται της κορυφής της κεφαλής. Οι μασχάλες είναι η χρυσή τομή του ύψους από τους αγκώνες μέχρι το επίπεδο που εφάπτεται της κορυφής της κεφαλής. Το άκρο του πηγουνιού είναι η χρυσή τομή του μήκους από το κέντρο του στέρνου μέχρι το άνω άκρο της κεφαλής. Στο ανθρώπινο σώμα υπάρχουν 5 κύρια προσαρτήματα ( 2 χέρια, 2 πόδια, 1 κεφάλι). Όλοι είναι αριθμοί Fibonacci. Σε κάθε χέρι και κάθε πόδι υπάρχουν 5 δάκτυλα και στο κεφάλι 5 οπές ( ο 5 είναι Fibonacci). Παρόμοιες παρατηρήσεις μπορούμε να κάνουμε και στα σώματα των διαφόρων ζώων. Τους αριθμούς Fibonacci και τη χρυσή τομή θα τους βρούμε επίσης στη μουσική και στα διάφορα μουσικά όργανα. Στην αστρονομία ο αριθμός φ έχει καταπληκτικές ιδιότητες. Αν υψώσω το φ στην -3 (πλην 3), βρίσκω το χρόνο περιστροφής του πλανήτη Ερμή γύρω από τον Ήλιο σε γήινα χρόνια. Έτσι έχουμε φ-3 = 0,24 χρόνια. Για την Αφροδίτη ισχύει 1/φ = 0,62 χρόνια, για το Δία φ5 = 11,1 χρόνια και για τον Κρόνο φ7 = 29 χρόνια (ακριβής χρόνος 29,5 χρ.). Η χρυσή τομή του πλάτους του δακτυλίου του Κρόνου είναι η διαίρεση Cassini (Ο Cassini παρατήρησε ότι ο δακτύλιος του Κρόνου έχει ένα σκοτεινό κενό που χωρίζει το δακτύλιο σε δύο σκοτεινά μέρη. Αυτό το κενό ονομάστηκε διαίρεση του Cassini. Σήμερα ξέρουμε ότι δεν είναι ένας ο δακτύλιος του Κρόνου και ότι υπάρχουν πολλές παρόμοιες λεπτές διαιρέσεις). Η απόσταση του Ερμή από τον Ήλιο είναι 57910000 χιλιόμετρα. Παίρνοντας σαν μονάδα μήκους αυτήν την απόσταση, η απόσταση της Γης από τον Ήλιο είναι 2,5833 τέτοιες μονάδες μήκους και της Αφροδίτης 1,8684. Ο χρόνος περιστροφής του Ερμή γύρω από τον Ήλιο είναι περίπου 88 γήινες μέρες. Ο χρόνος αυτός αν ληφθεί σαν μονάδα μέτρησης, τότε ο χρόνος περιστροφής της Αφροδίτης γύρω από τον Ήλιο είναι 2,5490 και της Γης 4,1521 χρονικές μονάδες. Με βάση αυτά έχουμε την εξής καταπληκτική σχέση στην οποία εμπλέκεται ο αριθμός φ. « Η τετραγωνική ρίζα του χρόνου περιστροφής της Αφροδίτης επί τον αριθμό φ = 1,6180339 μας δίνει την απόσταση της Γης από τον Ήλιο». Δηλαδή (τετρ. Ρίζα του 2,5490) x 1,6180339 = 1,5966 x 1,6180339 = 2,5833. Η καρδία ενός φυσιολογικού ανθρώπου χτυπά σύμφωνα με τη θεϊκή αναλογία. Δηλαδή το έπαρμα Τ είναι η χρυσή τομή του πλάτους ενός πλήρους καρδιακού ρυθμικού κύκλου. Οι αριθμοί Fibonacci, άρα και ο αριθμός φ, εμφανίζονται ακόμα και στην κίνηση της χρηματιστηριακής αγοράς. Ειδική χρήση τους γίνεται στη τεχνική ανάλυση μιας μετοχής και στη θεωρία του Eliot όπου η κίνηση της αγοράς συμπληρώνεται πάντοτε σε 5 κύματα. Αλλά αυτό που πραγματικά προκαλεί μεγάλη εντύπωση είναι η παρουσία του φ στην Αγία Γραφή. Αναφέρω δυο περιπτώσεις στις οποίες ο αριθμός φ είναι εμφανέστατος. Η πρώτη είναι στο Γεν.6/15, στην οποία ο Θεός υποδεικνύει στο Νώε τις διαστάσεις της κιβωτού. « Ούτω θέλεις κάμει αυτήν. Το μεν μήκος της κιβωτού θέλει είσθαι τριακοσίων πηχών το δε πλάτος αυτής πεντήκοντα πηχών και το ύψος αυτής τριάκοντα πηχών». Ο λόγος του πλάτους προς το ύψος της κιβωτού είναι 5:3 που είναι ο λόγος δυο διαδοχικών όρων Fibonacci και άρα ο λόγος αυτός προσεγγίζει τον φ = 1,618 (5:3 = 1,666…). Από μοντέλο που κατασκευάστηκε με διαστάσεις ανάλογες προς αυτές που η Βίβλος αναφέρει, αποδείχθηκε ότι το σκάφος αυτό είχε την καλύτερη συμπεριφορά σε συνθήκες θαλασσοταραχής από οποιοδήποτε άλλο σκάφος με διαφορετικές διαστάσεις. Η δεύτερη περίπτωση αναφέρεται στο Έξοδ.25/10, όπου ο Θεός δίνει στο Μωυσή τις διαστάσεις της Κιβωτού της Διαθήκης. « Και θέλουσι κατασκευάσει κιβωτόν εκ ξύλου σιττίμ. Δύο πηχών και ημισείας το μήκος αυτής και μιας πήχεως και ημισείας το πλάτος αυτής και μιας πήχεως και ημισείας το ύψος αυτής». Και εδώ ο λόγος 2,5:1,5 = 1,666.. προσεγγίζει τον φ.
Είναι φανερό ότι όλη η Δημιουργία είναι έργο των χειρών ενός συνειδητού όντος που έβαλε την υπογραφή Του πάνω σε κάθε δημιούργημά Του. Όπου υπήρξε η δημιουργική επέμβαση του Θεού, ο αριθμός 1,618… είναι εμφανής. Ο Θεός σκόπιμα δεν απέκρυψε τα «δακτυλικά Του αποτυπώματα» αλλά φρόντισε να είναι διάσπαρτα μέσα στο σύμπαν, από τις σπείρες του κελύφους των σαλιγκαριών μέχρι τις σπειροειδείς έλικες των γαλαξιών, ώστε η παρουσία Του να είναι τόσο κοντά μας για να Τον βλέπουν ακόμα και οι τυφλοί. Οι δημιουργικές Του πράξεις είναι ευδιάκριτες και φέρουν την ίδια σφραγίδα. Είναι η χρυσή τομή ή θεϊκή αναλογία όπως ονομάζεται. Τι άλλο μπορεί να κάνει ο Θεός, αν εμείς δεν πιστεύουμε σε αυτά που βλέπουμε; Ο Απόστολος Παύλος το λέει ξεκάθαρα. «Διότι ό,τι είναι δυνατόν να γίνει γνωστόν περί του Θεού, τους είναι φανερόν, επειδή ο Θεός τους το εφανέρωσε. Διότι αι αόρατοι ιδιότητές του, δηλαδή η αιωνία δύναμις του και η Θεότης του, βλέπονται καθαρά, αφ’ ότου εδημιουργήθηκεν ο κόσμος, γινόμεναι νοηταί δια μέσου των δημιουργημάτων, ώστε να είναι οι άνθρωποι αναπολόγητοι…» (Ρωμ. 1/19-21).
Αν αγαπητέ αναγνώστη αποφασίσεις να βαδίσεις στο μονοπάτι της ειλικρινούς και απροκατάληπτης έρευνας, είμαι σίγουρος πως μια μέρα θα συναντήσεις Εκείνον που είχε λόγο να αφήσει τα ίχνη Του μέσα σε όλη τη Δημιουργία. Γιατί από υπέρτατη αγάπη θέλει να σε βοηθήσει ώστε μια μέρα να Τον αναγνωρίσεις. Κι αυτός που σε αγαπά τόσο πολύ είναι ο Ιησούς Χριστός ο Κύριος, που είναι «επί πάντων Θεός ευλογητός εις τους αιώνας» (Ρωμ.9/5).
Λεμεσός-Κύπρος
stavrinoup@hotmail.com